Description

小L 最近沉迷于塞尔达传说：荒野之息（The Legend of Zelda: Breath of The Wild）无法自拔，他尤其喜欢游戏中的迷你挑战。

游戏中有一个叫做“LCT” 的挑战，它的规则是这样子的：现在有一个N 个点的 树（Tree），每条边有一个整数边权vi ，若vi >= 0，表示走这条边会获得vi 的收益；若vi < 0 ，则表示走这条边需要支付- vi 的过路费。小L 需要控制主角Link 切掉（Cut）树上的 恰好K 条边，然后再连接 K 条边权为 0 的边，得到一棵新的树。接着，他会选择树上的两个点p; q ，并沿着树上连接这两点的简单路径从p 走到q ，并为经过的每条边支付过路费/ 获取相应收益。

海拉鲁大陆之神TemporaryDO 想考验一下Link。他告诉Link，如果Link 能切掉 合适的边、选择合适的路径从而使 总收益 - 总过路费最大化的话，就把传说中的大师之剑送给他。

小 L 想得到大师之剑，于是他找到了你来帮忙，请你告诉他，Link 能得到的 总收益 - 总过路费最大是多少。

Solution

凸优化

发现斜率是递增的,虽然后面可能会变成负的,二分这个斜率 \(mid\)

然后相当于选择若干条点不相交的路径,每一次选择的代价为 \(mid\),求 \((K,f(K))\) 的值

我们二分到 \((K,f(K))\) 所在直线的斜率就可以推出这个点的值

求函数的最大值和 \(60\) 分 \(DP\) 一样,设 \(f[x][0/1/2]\) 表示这个点的度数为 \(0/1/2\) 时的最大值

转移时顺便维护选择的路径数量,具体转移见代码

#include
    
     using namespace std;template
     
      void gi(T &x){    int f;char c;    for(f=1,c=getchar();c<'0'||c>'9';c=getchar())if(c=='-')f=-1;    for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=getchar())x=x*10+(c&15);x*=f;}typedef long long ll;const int N=3e5+10;const ll inf=1e15;int n,K,head[N],nxt[N*2],to[N*2],num=0,dis[N*2];ll reb,mid;inline void link(int x,int y,int z){    nxt[++num]=head[x];to[num]=y;head[x]=num;dis[num]=z;    nxt[++num]=head[y];to[num]=x;head[y]=num;dis[num]=z;}struct data{int x;ll y;}f[N][3];inline bool operator <(const data &p,const data &q){    return p.y!=q.y?p.y
      
       q.x;}inline data operator +(const data &p,const data &q){    return (data){p.x+q.x,p.y+q.y};}inline data operator +(const data &p,const ll q){return (data){p.x,p.y+q};}inline void upd(data &a,data b,int c){b.x+=c;a=max(a,b);}inline void dfs(int x,int last){    f[x][0]=(data){0,0};f[x][1]=(data){1,-mid};f[x][2]=(data){0,-inf};    for(int i=head[x],u;i;i=nxt[i]){        if((u=to[i])==last)continue;        dfs(u,x);        data w=max(f[u][0],max(f[u][1],f[u][2]));        upd(f[x][2],f[x][2]+w,0);        upd(f[x][2],f[x][1]+f[u][1]+mid+dis[i],-1);                upd(f[x][1],f[x][1]+w,0);        upd(f[x][1],f[x][0]+f[u][1]+dis[i],0);                upd(f[x][0],f[x][0]+w,0);    }}inline int solve(){    dfs(1,1);    data ans=(data){0,-inf};    for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,max(f[i][0],max(f[i][1],f[i][2])));    if(ans.x<=K)reb=ans.y;    return ans.x;}int main(){  freopen("pp.in","r",stdin);  freopen("pp.out","w",stdout);  int x,y,z;  ll l=0,r=0,ret=0;  cin>>n>>K;K++;  for(int i=1;i
       
        >1;      if(solve()<=K)ret=mid,r=mid-1;      else l=mid+1;  }  reb+=ret*K;  cout<
        
         <